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高数学习资料含讲义及全部内容

2021-09-30 395人已围观

简介 高数学习资料含讲义及全部内容

【基本介绍】第三章：中值定理与导数的应用§3.1 中值定理本节将运用微分学的两个基本定理，这些定理是研究函数在区间上整体性质的省力工具，为此，先介绍Rollo定理：Rollo定理：若函数f(x) 满足：(i)f(x) 在 [a,b] 上连续;(ii)f(x) 在(a,b)可导，(iii)f(a) =f(b), 则在(a,b)内至少存在一点，使得f ( )=0.证明：由(i)知f(x)在[a,b]上连续，故f(x)在上必能得最大值M和最小值m，此时，又有二种情况：(1) M=m，即f(x)在[a,b]上得最大值和最小值相等，从而知，此时f(x)为常数：f(x)=M=m， =0，因此，可知 为(a,b)内任一点，都有f ( )=0。(2) M>m,此时M和m之中，必有一个不等于f(a)或f(b)，不妨设M f(a)(对m f(a)同理证明)，这时必然在(a,b)内存在一点 ，使得f( )=M,即f(x)在 点得最大值。下面来证明：f ( )=0首先由(ii)知f ( )是存在的，由定义知：f ( )= …….(*)因为 为最大值， 对 有 f(x) M f(x)-M 0,当x> 时，有 0

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